¿Afecta el tipo de copa al sabor del vino?

Desde luego que sí y mucho. Sigue el consejo del resto de compañeros y cata el mismo vino en copas diferentes, verás como cambia.
Yo te aconsejo que tengas siempre un juego de copas de cata norma Afnor núm. NF09110, eran las oficiales que usábamos antiguamente. Su función principal es encontrar defectos, lo cual tenía su utilidad cuando en España circulaban unos potingues que metían miedo. Ahora se lleva más las copas que destacan las virtudes, lo cual me parece bien, pero las otras no están de más.
Yo no quiero ni ver las Riedel, me parecen un abuso, porque las de Schott y las Spiegelau son igual de buenas y cuestan 1/3. En Rioja se diseñó una llamada copa rioja (http://www.copaderioja.com/caracteristicas.htm) que te puede dar ideas.
Personalmente a mí me gustan las de balón, tipo Borgoña pero totalmente esféricas, y para los blancos, las de tulipán pequeñas, llamadas de champagne.